Alondraa!: marzo 2012

FUNCION POLINOMIAL.

Función Polinomial

Una función

f es una función polinomial si es de la forma

f

(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0.

•

n es un número natural y se llama el grado del polinomio.

•

Los números an, an−1, · · · , a1, a0 son números reales y son

los

coeficientes del polinomio. Se pide que an 6= 0.

•

Dominio de f : Todos los números reales.

•

Un punto de alternancia es un punto que separa una parte

creciente de una decreciente o viceversa.

•

Un cero de un polinomio es el punto r en su dominio tal

que

f (r) = 0.

•

Un polinomio de grado n tiene a lo más (n − 1) puntos de

alternacia y a lo más

n ceros.

•

Si r es un cero de un polinomio

P

(x) = xn + an−1xn−1 + · · · + a1x +a0,

entonces

|r| < 1 +max{|an−1| , |an−2| , . . . , |a1| , |a0|}.

•

Casos particulares de polinomios son las rectas y las

parábolas.

-5 -2.5 0 2.5 5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

f

(x) = x3 − 2x

-5 -2.5 0 2.5 5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

f

(x) = 2x4 − 4x2 + x − 1

-2.5 0 2.5 5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

f

(x) = x5 − 5x3 + 4x+ 1

-2.5 0 2.5 5

2.5

0

-2.5

-5

x

y
f (x) = x6 − 7x4 + 14x2 − x − 5

ASINTOTAS.

Curva: en rojo
Asíntota: línea punteada en azul.

En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, a medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un comportamiento asintótico

HISTORIA Y SIGNIFICADO:
La palabra asíntota se confunde coloquialmente con recta asintótica. Se suele agregar a la definición de asíntota a una curva, el que «no se encuentran nunca». Esta interpretación intuitiva está plasmada por Apolonio de Perga, en su conocido tratado Sobre las secciones cónicas, para referirse a una recta que no interseca a una rama de una hipérbola.
En geometría, el comportamiento asintótico se refiere a una eventual propiedad entre curvas, y más precisamente, entre funciones o partes de funciones: segmentos de rectas, hojas de hipérbolas, etc. Es en este sentido que se habla de recta asintótica como tangente al infinito de una rama parabólica, o bien de curvas asintóticas.
Su estudio más profundo desborda el mero campo de aplicación de la geometría elemental y el trazado de curvas planas; con el desarrollo del álgebra y del cálculo infinitesimal, las nociones intuitivas «tiende a infinito» y «tiende a cero» se formalizan (netamente con el concepto de límite matemático), y con ello también el cálculo de asíntotas.

Gráfica de asíntotas

Las asíntotas ayudan a la representación de curvas, proporcionan un soporte estructural e indican su comportamiento a largo plazo. En tanto que líneas rectas, la ecuación de una asíntota es simplemente la de una recta, y su expresión analítica dependerá de la elección del sistema de referencias (y = m•x + b en coordenadas cartesianas).
Si bien suelen representarse en un mismo sistema de coordenadas, las asíntotas no forman parte de la expresión analítica de la función, por lo que -en numerosos ejemplos- no están incluidas explícitamente dentro de la gráfica, o bien se las indica con una línea punteada.
En muchos casos, las asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas, es decir que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas serán: x = 0, y = 0

FUNCION RACIONAL.

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.^[1]

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos

Función racional de grado 2:

$y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4}$

Función racional de grado 3:

$y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)}$

Ejemplos
Función homográfica:

$f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.^[2]

Integración de funciones racionales

Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f_i(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma $\scriptstyle F_i(x)$ :

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

DIVISION SINTETICA.

DIVION SINTETICA.La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados

pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos

. al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).