Función lineal


En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.
En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.
En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.
Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero.
La derivada de una función lineal es una constante, en tanto que su integral es una función cuadrática.

Una función lineal de una única variable dependiente x suele escribirse en la forma siguiente:

  y = m x + b ,

con "m" y "b" números reales tal que m no sea nulo.

cuya representación gráfica, en el plano "xy" es una recta. Las letras "m" y "b" se denominan parámetros.
El parámetro "b" se denomina ordenada al origen y es la ordenada del punto en donde la recta se interseca con el eje Y.
El parámetro "m" se denomina pendiente y representa la variación de la ordenada de un punto de la recta cuando su abscisa se incrementa en una unidad.
Si m > 0 el ángulo de inclinación de la recta con el semieje positivo de las x, es agudo; si m < 0 este ángulo es obtuso.
Ejemplo: En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m= 1/2, esto es el crecimiento de la recta es 1/2, cuando aumentamos x en una unidad, y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2
La ecuación:

la pendiente de la recta, el parámetro m= -1, indica que cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad, el corte con el eje y, lo tiene en y= 5, dado que el valor de b= 5.